ejercicios de coordenadas polares

1.-Localizar en el plano polar los siguientes puntos: ( 3, 15º) , (-5, p/4), (-4, 60º), (-3, -p/6) y (5, 270º)    

Dadas las ecuaciones siguientes, hallar a) las simetrías , b) las intersecciones y c) la gráfica.

2)  q = 45º                   3) q = p / 3                            4) q = 135º                    5)  r = 2

6)  r = 4                      7) r = 3 cos q                        8) r =1- sen q                 9) r = 1+cosq

10) r = sen 2 q                        11) r =3/( 1 - sen q )            12) r =4/( 1 - cos q )      13) r=2/(1-2senq )

14) r =4/( 1 -3 cos q ) 15) r = sen2 q                     16) r = cos2 2q               17) r = 4(sen q +1)                 18) r = 4sen q +3        19) r = 2q                             20) r2 =4sen2q

Expresar en coordenadas polares las siguientes ecuaciones:

21) x = 1                       22) x - y  = 0                       23) x - 3y = 0                  24) (x2 + y2)3 = 4x2y2

25) y2 = 8x                    26) x2 + y2 = 16                  27) x2 + y2 - 3x = 0         28) 4x2 - 5y2 + 18y - 9 = 0

29) (x2 + y2)2 =9(x2 - y2)

Expresar en coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones:

30) r cosq = 1               31) r = 5                            32) r = 4 tanq secq          33) r = cos2q - sen 2q

34) r = 6 /(2 - senq)      35) r = 2acosq + 2bsenq     36) r = 2 /(1 - cosq)        37) r = 4 /(2 - 3cos q)

Identificar y trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:

38) r sen q = 4                        39) r = 5                   40) r2 + 9 - 6r cos(q-45º) = 4    41) r = 4 cos q

42) r = 4 /(1-cosq)      43) r = 2 /(1+cosq)   44) r = 8 /(2 - senq)                  45) r = 6 /(3 + senq) 

46) r = 10 /(2-5cosq)  47) r = 8 /(4 + 8 senq)

Hallar los puntos de intersección y trazar las gráficas de las siguientes parejas de ecuaciones:

48) r = 8 cos q ,  r = 4                        49) r = 2 senq ,  r = Ö3                       50) r = 4 cos2q ,  r = 1

51) r = 3 cos q ,  r = 1 + cosq            52) r = 5 senq ,  r = 2 + sen q           53) r = 3 + cos q , r =3-senq 54) r =  sen q ,  r2 = sen 2q                  55)  r =  cosq ,  r2 = cos2q 

ejercicios de hipérbola y Parábola

La Hipérbola

1.-Determine las ecuaciones de las hipérbolas que satisfagan las siguientes condiciones:

a)    Centro (0, 0),   foco (8, 0),   un vértice en (6, 0).

b)   Vértice los puntos (2, 0)  y  (-2, 0),   focos (3, 0)  y  (-3, 0).

   c)   Centro (0, 0),  eje transverso sobre el eje Y, un foco en el punto (0, 5)  y excentricidad igual a  del punto (3, 2) es siempre igual al triple de su distancia a la recta  y + 1 = 0.

d)   Centro (0, 0),  que pasa  por (3, -2)  y  (7, 6), y el eje transverso coincida con el eje X.

e)       Centro  C(-1, 4), un vértice en V(2, 1) y semi-eje imaginario igual a 4.

2- Halla la ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria, que tiene su centro en el origen,

de acuerdo a los datos:

• Vértices (±4, 0), Focos (±6,0)                                           
• Vértices (0, ±5) y un extremo del eje conjugado (3, 0)     
• Focos (±3,0), lado recto = 5                                    
• Focos (±7, 0), excentricidad=2                                
• Vértices (0, ±2), lado recto=9                                  
• Vértices (3, 0), excentricidad=4/3                           

La Parábola

1.-Halle la ecuación de las parábolas conforme los datos que se indican:

a) Foco F(0, 3),   Directriz :  y + 3 = 0.                    

b) Foco F(0, 6),   Directriz el eje X.

c) Vértice V(0, 0),   Eje de simetría, el eje de coordenadas Y , y que pase por (6, -3).

d) Vértice V(4, -1), Eje de simetría la recta  y + 1 = 0  y que pase por el punto (3, -3)

e) Vértice  V(3, -2),   Foco F(3, 1).

f) Vértice  V(3, -1),   Foco F(3, -4).

g) Foco  F(-1, -2),  lado recto el segmento que une los puntos (-4, -2) y (2, -2).

h) Vértice  V(1, 2),   eje de simetría la recta x = 1.

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2.             Un reflector parabólico tiene su fuente luminosa ubicada en el foco.  Determine este foco si se sabe que el reflector tiene 1 metro de profundidad y 3 metros de diámetro.

3.             El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 m. y están separados por una distancia de 500 m., quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m. sobre la calzada del puente.   Tomando como eje X la horizontal que define el puente, y como eje Y, el de simetría de la parábola, determine la ecuación de ésta y calcule la altura de un punto situado a 80 m. del centro del puente.
4.    Determine el eje de simetría y la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y su directriz la recta  y – 5 = 0